Oblaci nisu sfere, planine nisu stošci, obale nisu krugovi, kora nije glatka, a munja ne putuje ravnom linijom – Benoît Mandelbrot…

Prije više od dva tisućljeća Euklid iz Aleksandrije u svom djelu Elementi iznio je pravila i aksiome na kojima počiva klasična euklidska geometrija. Ova su pravila toliko dobro izražavala čovjekove predodžbe o prostoru i objektima da je euklidska geometrija u svom nepromijenjenom obliku bila osnova matematike sve do XIX. stoljeća. Tada se pokazalo da mogu postojati i drugačije geometrije od one koja počiva na Euklidovim aksiomima.

Klasična geometrija opisuje svijet idealnih obli­ka poput kruga, kvadrata, kugle ili kocke i po tome je prikladnija za opisivanje formi koje su nastale kao djelo čovjekovog uma negoli za pojave i oblike nastale u prirodi. Nepravilne, razigrane linije prirode gotovo je nemoguće opisati jezikom klasične geometrije, no pokazalo se, ne toliko nemoguće novim jezikom koji smo naučili, jezikom fraktalne geometrije.

Benoît Mandelbrot

Naziv fraktal iskovao je sedamdesetih godina XX. stoljeća matematičar Benoît Mandelbrot a korijen mu je latinska riječ fractus, što znači razlomljen, slomljen. Mnogo činjenica o fraktalima i fraktalnoj geometriji bilo je poznato još u prvoj polovici XX. stoljeća. Međutim, sve te ideje smatrane su tek iznimkama i anomalijama u odnosu na službenu, akademsku matematiku. Osobito velik doprinos teoriji fraktala dao je francuski matematičar Gaston Maurice Julia (1893. – 1978.). Iako je bio vrlo poznat i popularan u razdoblju nakon Prvog svjetskog rata, njegovi su radovi pali u zaborav, sve dok ih ponovo, uz radove drugih zaboravljenih matematičara, na svjetlo dana nije vratio Benoît Mandelbrot, kojeg se smatra ocem fraktalne geometrije.

Mandelbrot je rođen u Poljskoj 1924. godine. Kad je imao dvanaest godina, obitelj mu se iz Varšave preselila u Pariz. Tamo je, pod utjecajem očevog mlađeg brata, matematičara Szolema Mandelbrota, otkrio sklonost prema čistoj matematici:

Upravo zahvaljujući mom stricu Szolemu još kao djetetu postalo mi je jasno da je matematika živi organizam. Zbog rata i okupacije školovao se isprekidano i neredovito, ali je bez obzira na to uspješno položio prijemni ispit na École Polytechnique. Nakon završenog studija jedno je vrijeme ostao u Francuskoj, no ubrzo se preselio u Sjedinjene Američke Države, gdje se nakon kraće akademske karijere zaposlio u istraživačkom odjelu IBM-a u New Yorku i tu ostao punih trideset pet godina. Ovdje je Mandelbrot dobio sredstva i slobodu da istražuje neobične, nekonvencionalne ideje matematičara poput prije spomenutog Gastona Julie ili Lewisa Richardsona, koji se bavio problemom mjerenja dužine obalne linije.

Za razliku od većine matematičara svog vremena, Mandelbrot je nepokolebljivo zagovarao ideju da su geometrijske slike osnova matematike. Imao je izuzetno razvijenu geometrijsku intuiciju pomoću koje je algebarske probleme predstavljene formulama mogao vizualizirati kao odgovarajuće geometrijske slike i u svom umu pronaći točku u kojoj se susreću oko i matematika. Otkrio sam kako da u trenutku pretvorim formu­lu u sliku, kaže Mandelbrot. Upravo ta sposobnost omogućila mu je da neke matematičke probleme sagleda drugačije i da naoko nepovezane ideje poveže u jednu jedinstvenu teoriju – teoriju fraktala.

Svoje je spoznaje objedinio i objavio 1975. godine u knjizi Les objets fractals: forme, hasard et dimension (Fraktalni objekti: oblik, slučajnost i dimenzija) a potom i 1982. godine u knjizi The Fractal Geometry of Nature (Fraktalna geometrija prirode) koja je doživjela nevjerojatan uspjeh. Napisana jasnim, jednostavnim jezikom, ova je knjiga stekla velik broj poklonika ne samo u znanstve­nom svijetu, nego i izvan njega.

Mandelbrot je ukazao na nešto oduvijek prisutno u svijetu koji nas okružuje, nešto što je dotad svima izmicalo i ostajalo nevidljivo, skriveni obrazac prisutan u prividno kaotičnim oblicima. On kaže: Jednom kad vidite te slike, odgovor postaje očigledan. Pokazalo se naime da naš svijet nije zapravo sazdan od pravilnih, euklidskih, već od naizgled nepravilnih, fraktalnih oblika, koje jednom kad ih počnemo tražiti možemo prepoznati posvuda – u krošnjama drveća, listu kupusa, snježnim pahu­ljama, strukturi krvožilnog sustava, susta­vu riječnih tokova, oblicima planinskih lanaca; fraktali su u prirodi prisutni na svim razinama.

Što je zapravo fraktal?

Satelitska snimka Nila na potezu između asuanske brane i Abu Simbela. Očigledan je princip samosličnosti u načinu na koji su se formirali riječni rukavci.

Topološka dimenzija nekog oblika predstavlja broj smjerova kojima bismo se mogli kretati kada bismo se nalazili u njemu, odnosno “broj stupnjeva slobode”, i odgovara našem prirodnom, intuitivnom shvaćanju dimenzije.

Tako točka ima dimenziju 0, pravac 1, geometrijski likovi i plohe 2, a geometrijska tijela i prostor 3. Fraktalna dimenzija je puno neodređenija i definira se drugačije. Ona predstavlja način na koji određeni oblik popunjava okolni prostor i opisuje “izlomljenost” ili “hrapavost” objekta. Na primjer, Kochova krivulja jedan od najpoznatijih fraktalnih oblika, gušće ispunjava ravninu nego jednostavna ravna linija i zato je vrijednost njezine fraktalne dimenzije između 1, što odgovara liniji, i 2, što odgovara ravnini. Za fraktalne oblike karakteristično je to da je njihova fraktalna dimenzija uvijek veća od topološke.

Katsushika Hokusai (1760.-1849.), Veliki val iz Kanagawe. Umjetnik je iskoristio princip samosličnosti kako bi što vjernije prikazao dinamiku kretanja vode.

Osim ovog svojstva, fraktali posjeduju još jednu neobičnu osobinu – samosličnost. Pojednostavljeno rečeno, fraktal je geometrijski oblik kojeg odlikuje svoj­stvo da je svaki njegov dio sličan cjelini, odnosno čitavom fraktalu. Tako se, primjerice, korijen drveta grana na sve manje korjenčiće, gdje je svaki korjenčić, veći ili manji, umanjena kopija čitavog korijena stabla. Prema stupnju samosličnosti razlikujemo geometrijske, algebarske i stohastičke fraktale.

Geometrijski fraktali potpuno su samoslični, odnosno koji god dio fraktala promatrali pod kojim god uvećanjem, on će i dalje biti identičan čitavom fraktalu. Najpoznatiji primjeri geometrijskih fraktala su Kochova krivulja, trokut Sierpińskog, Cantorov skup, fraktalni baldahin, Pitagorino stablo.

Algebarski fraktali su kvazi samoslični, tj. dijelovi pojedinog fraktala nisu identične, već iskrivljene kopije cjeline. Mandelbrotov skup je fraktal algebarskog tipa a tu također spadaju i Julijini skupovi (u literaturi ih se spominje i kao Julijeve skupove).

Stohastičke fraktale odlikuje tek statistička samosličnost te su stoga manje pravilni od geometrij­skih ili algebarskih. Neki od primjera ove skupine su Lorenzov atraktor i Brownovo gibanje.

Kochova krivulja

Niels Fabian Helge von Koch (1870. – 1924.) je bio švedski matematičar, a ovu je krivulju opisao 1904. godine.

Konstruira se tako da se u prvom koraku dužina podijeli na tri jednaka segmenta. Na srednji segment dodaju se još dvije dužine jednakih duljina tako da zajedno sa srednjim segmentom tvore jednakostraničan trokut.

Nakon toga ukloni se srednji segment i sada imamo četiri dužine jednakih duljina. U drugom koraku nad svakom od ove četiri dužine ponovimo postupak iz prvog koraka, itd. U slučaju kad postupak iteracije umjesto s dužinom započinje s istostraničnim trokutom, govori se o Kochovoj pahulji. Zanimljivo da ova pahulja ima konačnu površinu a beskonačan opseg. Fraktalna dimenzija Kochove krivulje iznosi približno 1,2619.

Trokut Sierpińskog

Poljski matematičar Wacław Sierpiński (1882. – 1969.) predstavio je ovaj fraktal 1915. godine ali je ovaj motiv bio poznat u umjetnosti dugi niz stoljeća.

Od početnog jednakostraničnog trokuta oduzme se trokut (također jednakostraničan) koji se dobije spajanjem polovišta stranica početnog trokuta.

Preostala tri jednakostranična trokuta predstavljaju polazište za sljedeći korak.

Isti takav postupak može se primijeniti i na kvadrat, tada govorimo o tepihu Sierpińskog, kao i na trodimenzionalne oblike gdje onda govorimo o fraktalnim piramidama i kockama.

Pitagorino stablo

Ovaj fraktal je 1942. godine opisao Danac Albert Bosman (1891. – 1961.), a nazvan je po Pitagori jer se njegov početni oblik koristi za geometrijsko predočavanje Pitagorinog poučka: površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka je zbroju površina kvadrata nad katetama.

Dakle, započinje se s kvadratom nad čijom se jednom stranicom konstruira jednakokračni pravokutni trokut, pri čemu katete postaju osnova za dva nova kvadrata nad kojima se ponavlja cijeli postupak a oblik koji se dobije je simetričan.

Kad se nad kvadratom umjesto jednakokračnog konstruira neki drugi pravokutni trokut, dobit će se nesimetrično Pitagorino stablo.

Julijini skupovi

Julijini skupovi spadaju u algebarske fraktale a dobili su ime po ranije spomenutom francuskom matematičaru Gastonu Juliji koji ih je opisao početkom XX. stoljeća.

Oni su zahtjevniji za iscrtavanje jer je za svaku točku ravnine potrebno provjeriti konvergentnost jednog niza kom­pleksnih brojeva a taj je posao praktički nemoguće obaviti bez računala.

Zato je pojava računala dala novi zamah fraktalnoj geometriji.

Mandelbrotov skup

Mandelbrotov skup je svakako najpoznatiji a po mišljenju mnogih i najljepši fraktalni oblik. Kada su Mandelbrot i njegovi suradnici počeli proučavati Julijine skupove, došli su do zaključka da ovisno o vrijednosti konstante c u jednadžbi zn+1=zn2+c, Julijin skup može biti povezan ili nepovezan (točke skupa su raspršene poput prašine).

Mandelbrot je došao na ideju da načini neku vrstu karte tog ponašanja. Za odabranu vrijednost konstante c izračunao je da li je Julijin skup pove­zan ili ne.

Ako je za tu vrijednost Julijin skup povezan, onda je točku koja odgovara tom kom­pleksnom broju c obojao u crno a ako nije, ostavio bi je bijelom. Slika koju je Mandelbrot dobio na taj način bila je potpuno neočekivana. Na granici skupa počeo je uočavati oblike koji su izgledali kao sićušne kopije izvornog skupa.

Što je god dublje uranjao u granicu (“zumirao” sliku), na njoj je uočavao nove i nove oblike koji su bili slični polaznom ali svaki put drugačiji – dubina do koje se može uranjati u Mandelbrotov skup je beskonačna. Godine 1991. godine Mitsuhiro Shishikura je dokazao da granica Mandelbrotovog skupa ima fraktalnu dimenziju 2. To je zapanjujuće jer dimenzija 2 odgovara površini, dok granica “normalnog” lika, linija, ima dimenziju 1. James Gleick u svojoj knjizi Kaos – rađanje nove znanosti, kaže: Mandelbrotov skup je najsloženiji objekt u matematici. Vječnost nije dovoljna da ga se cijelog pregleda.

Primjena fraktala

Jedan od prvih problema na kojem je Benoît Mandelbrot iskušao svoju teoriju bio je upravo Richardsonov problem mjerenja duljine britanske obale. Mandelbrot je uočio da je linija obale samoslična, odnosno da se mjera njene razvedenosti ne mijenja bez obzira na mjerilo u kojem je promatramo.

Mandelbrot je također ponudio alternativno rješenje poznatog Olbersovog paradoksa. Ako se pretpostavi da je svemir beskonačno velik i da u njemu ima beskonačno mnogo zvijezda, postavlja se pitanje kako to da noćno nebo ne blješti, nego je crno. Problem je dobio ime prema njemačkom astronomu Heinrichu Wilhelmu Olbersu koji ga je izložio početkom XIX. stoljeća. Uobičajeno objašnjenje u duhu modela Velikog praska jest da nebo ne blješti jer se svemir širi i svjetlost iz svake točke ne stiže do nas odjednom u istom trenutku. Mandelbrot međutim kaže da ako su zvijezde u svemiru raspoređene fraktalno, ima ih beskonačno mnogo, no nisu ravnomjerno raspoređene po svemirskom prostoru i zbog toga noćno nebo ne blješti, već je tamno, kakvim ga i vidimo.

Mandelbrotova otkrića dovela su do prave revolucije u znanstvenom svijetu. Mnogi su znanstvenici napuštali područja koja su istraživali kako bi se bavili čudesnim svijetom fraktala. Razvoj tehnologije i sve bolja i brža računala omogućili su da se u vrlom kratkom vremenu izvrši velik broj matematičkih operacija i da se iscrtaju vrlo složeni oblici, te se od osamdesetih godina XX. stoljeća fraktalna geometrija ubrzano razvijala.

Jednom kad su ih prepoznali, znanstvenici su fraktale počeli pronalaziti posvuda. Uz ranije spomenute primjere iz prirode, pokazalo se da se teorija fraktala može primije­niti i na brojna druga raznolika područja, npr. predviđanje načina na koji će se širiti šumski požar, promjene vrijedno­sti dionica na financijskom tržištu, ispitivanje naprezanja u naftnim bušotinama ili kao model za raspodjelu pogrešaka prilikom elektroničkog prijenosa podataka. Osobito veliku primjenu fraktali imaju u računalnoj grafici, odnosno kod modeliranja terena (posebno kod oblikovanja planina) ili raslinja, grmlja, drveća i trave gdje se na prilično ­jednostavan način mogu dobiti oblici zapanjujuće slični stvarnima.

Iako mlada i praktički tek u povojima, teorija fraktala pokazala se kao vrlo moćna i primjenjiva u raznim područjima čovjekovog djelovanja, te kao nezamjenjiv alat za razumijevanje skrivenih pravilnosti prirode i njenog ustroja. Gotovo sigurno će se u godinama koje slijede pojaviti nove činjenice i dokazi koji će dodatno potvrditi da je Mandelbrotovo otkriće jedno od najznačajnijih u suvremenoj znanosti. Benoît Mandelbrot umro je 2010. godine u dobi od osamdeset pet godina a jedan od njegovih štovatelja napisao je na svom blogu da je čovjek koji je svojim otkrićima zadužio svijet promijenio svoju fraktalnu dimenziju.

Suzana Dobrić Žaja